AP微积分2019真题

这是 2019 AP Calculus AB Scoring Guidelines 的试卷，评分指南详细说明了如何为每道自由回答题分配分数，包括每部分的评分标准和步骤。在 AP 考试中，评分指南是评估学生答案的关键工具。以下是关于评分指南的内容及如何利用它提升你的答题表现的建议：

评分指南的结构与内容

AP Calculus AB 的评分指南通常包括以下内容：

问题分解：
- 每道题目被分解为若干部分（如 (a)、(b)、(c)、(d)）。
- 每部分的评分标准明确指出需要满足的条件，例如正确的计算、合理的解释或图形计算器的使用。
评分点：
- 每部分的答案会分配一定的评分点（通常总分为 9 分）。
- 评分点可能包括正确的公式使用、计算步骤、逻辑推理以及最终答案。
学生可能的错误：
- 评分指南会列出常见错误，并说明是否会扣分。
- 例如，计算错误可能只扣部分分数，但逻辑错误或遗漏关键步骤可能导致较大扣分。
完整答案示例：
- 提供每部分的完整答案，包括计算过程、解释和最终结果。
- 示例答案帮助评分员理解学生的解题思路是否符合要求。

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如何利用评分指南提升表现

以下是一些具体建议，帮助你通过评分指南优化答题策略：

1. 理解评分标准

仔细研究评分指南中的每部分要求，确保你的答案符合评分点的标准。
例如，在问题 (a) 中，积分的计算需要正确的表达式和最终结果；忽略表达式可能会失分。

2. 注重步骤完整性

AP Calculus AB 的评分不仅仅关注最终答案，还关注解题步骤和逻辑。
确保每一步计算都有清晰的书写，并解释为什么使用某个公式或方法。

3. 避免常见错误

评分指南会列出学生容易犯的错误，例如：
- 忘记单位（如鱼的数量或速率）。
- 没有解释答案的合理性。
- 图形计算器使用不当。
在练习时，针对这些错误进行重点训练。

4. 熟悉图形计算器操作

某些问题需要使用图形计算器进行积分或找到临界点。评分指南通常会明确指出什么情况下需要使用计算器。
确保你熟悉计算器的功能，例如积分计算、导数求值和图形绘制。

5. 模拟评分过程

在练习时，使用评分指南为自己的答案打分。
检查是否满足所有评分点，并找出失分的原因。

6. 学习完整答案示例

评分指南中的示例答案可以帮助你理解如何组织答案。
学习示例中的语言表达方式，例如如何解释导数的物理意义或积分的应用。

针对 2019 年自由回答题的建议

对于你提供的 2019 年 AP Calculus AB 自由回答题第 1 题，可以结合评分指南进行以下优化：

问题 (a)：
- 确保积分步骤清晰完整，并写出最终结果。
- 如果使用图形计算器，说明计算器的操作过程。
问题 (b)：
- 写出平均速率公式，并展示积分计算的细节。
- 使用分数或小数表示答案，避免过度简化。
问题 (c)：
- 找到临界点后，解释为什么这些点是最大值或最小值。
- 比较湖中鱼的数量在临界点和边界点的值，确保答案有充分依据。
问题 (d)：
- 明确计算 $N^{''} (t)$ 的过程，并解释其物理意义（例如鱼的变化率是否增加或减少）。
- 如果使用图形计算器，说明如何操作并解释结果。

评分指南是提高 AP Calculus AB 自由回答题成绩的重要工具。通过研究评分标准、优化解题步骤以及避免常见错误，你可以显著提升答案质量。

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问题分析与解题步骤

(a) How many fish enter the lake over the 5-hour period from midnight ( $t = 0$ ) to 5 A.M. ( $t = 5$ )?

关键知识点：
- 进入湖中的鱼的速率由函数 $E (t)$ 给出，单位是鱼每小时。
- 要计算总进入的鱼数，需要对 $E (t)$ 在区间 $t = 0$ 到 $t = 5$ 进行积分： $Total fish entering = \int_{05} E (t) d t$
解题步骤：
1. 使用图形计算器或积分公式计算：
  $E (t) = 20 + 15 sin (6 π t)$
  直接积分 $E (t)$ ：
  $\int_{05} (20 + 15 sin (6 π t)) d t$
2. 将积分分解为两部分：
  
  $\int_{05} 20 d t + \int_{05} 15 sin (6 π t) d t$
  - 第一部分： $\int_{05} 20 d t = 20 \cdot 5 = 100$
  - 第二部分：用图形计算器或积分技巧计算 $\int_{05} 15 sin (6 π t) d t$ 。
3. 将结果相加，得到总进入湖中的鱼数。

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(b) What is the average number of fish that leave the lake per hour over the 5-hour period from midnight ( $t = 0$ ) to 5 A.M. ( $t = 5$ )?

关键知识点：
- 平均速率公式： $Average rate = b - a 1 \int_{a b} L (t) d t$
  这里 $L (t) = 4 + 2 t^{2}$ 是离开湖中的鱼的速率。
解题步骤：
1. 计算积分 $\int_{05} L (t) d t$ ：
  
  $\int_{05} (4 + 2 t^{2}) d t = \int_{05} 4 d t + \int_{05} 2 t^{2} d t$
  - 第一部分： $\int_{05} 4 d t = 4 \cdot 5 = 20$
  - 第二部分： $\int_{05} 2 t^{2} d t = 2 \cdot \int_{05} t^{2} d t = 2 \cdot [3 t ^{3}]_{05} = 2 \cdot 3 125 = 3 250$
2. 将结果相加：
  $\int_{05} L (t) d t = 20 + 3250 = 3310$
3. 计算平均速率：
  $Average rate = 5 - 01 \cdot 3310 = 15310 = 362 \approx 20.67$

(c) At what time $t$ , for $0 \leq t \leq 8$ , is the greatest number of fish in the lake? Justify your answer.

关键知识点：
- 湖中鱼的数量是积累量：进入的鱼减去离开的鱼。
- 要找到最大值，需计算湖中鱼的净变化率并找到临界点： $N^{'} (t) = E (t) - L (t)$
  找到 $N^{'} (t) = 0$ 的点，并分析最大值。
解题步骤：
1. 计算 $N^{'} (t) = E (t) - L (t)$ ：
  $N^{'} (t) = 20 + 15 sin (6 π t) - (4 + 2 t^{2})$
  简化为：
  $N^{'} (t) = 16 + 15 sin (6 π t) - 2 t^{2}$
2. 设置 $N^{'} (t) = 0$ 并用图形计算器找到 $t$ 的值。
3. 检查 $N (t)$ 在 $t = 0$ 、 $t = 8$ 和临界点的值，找出最大值。

(d) Is the rate of change in the number of fish in the lake increasing or decreasing at $t = 5$ ? Explain your reasoning.

关键知识点：
- 要判断 $N^{'} (t)$ 的变化趋势，需计算 $N^{''} (t)$ 并分析其值： $N^{''} (t) = E^{'} (t) - L^{'} (t)$
解题步骤：
1. 计算 $E^{'} (t)$ 和 $L^{'} (t)$ ：
  $E^{'} (t) = d t d (20 + 15 sin (6 π t)) = 15 \cdot 6 π cos (6 π t)$ $L^{'} (t) = d t d (4 + 2 t^{2}) = 4 t$
2. 计算 $N^{''} (t)$ 在 $t = 5$ 的值：
  $N^{''} (5) = E^{'} (5) - L^{'} (5)$
3. 如果 $N^{''} (5) > 0$ ，说明 $N^{'} (t)$ 在增加；如果 $N^{''} (5) < 0$ ，说明 $N^{'} (t)$ 在减少。

解题策略

使用图形计算器：
- 本题需要计算积分、导数以及分析函数的行为，图形计算器是必不可少的工具。
- 确保熟悉如何使用计算器求积分、导数以及绘制函数图像。
分步解题：
- 每个部分的问题独立解决，确保计算过程清晰且有条理。
- 对于复杂的表达式，分解成简单部分逐步处理。
书写规范：
- 在 AP 考试中，解释和推理占重要部分。确保每一步计算都有对应的解释，并使用数学术语准确表达。

这道题目综合考察了积分、导数和函数行为分析的能力。通过分步计算和合理推理，可以准确回答每个子问题。

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