AP微积分2019真题下载《2019 AP Calculus AB Scoring Guidelines》

这是 2019 AP Calculus AB Scoring Guidelines 的试卷,评分指南详细说明了如何为每道自由回答题分配分数,包括每部分的评分标准和步骤。在 AP 考试中,评分指南是评估学生答案的关键工具。以下是关于评分指南的内容及如何利用它提升你的答题表现的建议:

评分指南的结构与内容

AP Calculus AB 的评分指南通常包括以下内容:

  1. 问题分解:

    • 每道题目被分解为若干部分(如 (a)、(b)、(c)、(d))。
    • 每部分的评分标准明确指出需要满足的条件,例如正确的计算、合理的解释或图形计算器的使用。
  2. 评分点:

    • 每部分的答案会分配一定的评分点(通常总分为 9 分)。
    • 评分点可能包括正确的公式使用、计算步骤、逻辑推理以及最终答案。
  3. 学生可能的错误:

    • 评分指南会列出常见错误,并说明是否会扣分。
    • 例如,计算错误可能只扣部分分数,但逻辑错误或遗漏关键步骤可能导致较大扣分。
  4. 完整答案示例:

    • 提供每部分的完整答案,包括计算过程、解释和最终结果。
    • 示例答案帮助评分员理解学生的解题思路是否符合要求。

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如何利用评分指南提升表现

以下是一些具体建议,帮助你通过评分指南优化答题策略:

1. 理解评分标准

  • 仔细研究评分指南中的每部分要求,确保你的答案符合评分点的标准。
  • 例如,在问题 (a) 中,积分的计算需要正确的表达式和最终结果;忽略表达式可能会失分。

2. 注重步骤完整性

  • AP Calculus AB 的评分不仅仅关注最终答案,还关注解题步骤和逻辑。
  • 确保每一步计算都有清晰的书写,并解释为什么使用某个公式或方法。

3. 避免常见错误

  • 评分指南会列出学生容易犯的错误,例如:
    • 忘记单位(如鱼的数量或速率)。
    • 没有解释答案的合理性。
    • 图形计算器使用不当。
  • 在练习时,针对这些错误进行重点训练。

4. 熟悉图形计算器操作

  • 某些问题需要使用图形计算器进行积分或找到临界点。评分指南通常会明确指出什么情况下需要使用计算器。
  • 确保你熟悉计算器的功能,例如积分计算、导数求值和图形绘制。

5. 模拟评分过程

  • 在练习时,使用评分指南为自己的答案打分。
  • 检查是否满足所有评分点,并找出失分的原因。

6. 学习完整答案示例

  • 评分指南中的示例答案可以帮助你理解如何组织答案。
  • 学习示例中的语言表达方式,例如如何解释导数的物理意义或积分的应用。

针对 2019 年自由回答题的建议

对于你提供的 2019 年 AP Calculus AB 自由回答题第 1 题,可以结合评分指南进行以下优化:

  1. 问题 (a):

    • 确保积分步骤清晰完整,并写出最终结果。
    • 如果使用图形计算器,说明计算器的操作过程。
  2. 问题 (b):

    • 写出平均速率公式,并展示积分计算的细节。
    • 使用分数或小数表示答案,避免过度简化。
  3. 问题 (c):

    • 找到临界点后,解释为什么这些点是最大值或最小值。
    • 比较湖中鱼的数量在临界点和边界点的值,确保答案有充分依据。
  4. 问题 (d):

    • 明确计算 N′′(t) 的过程,并解释其物理意义(例如鱼的变化率是否增加或减少)。
    • 如果使用图形计算器,说明如何操作并解释结果。

评分指南是提高 AP Calculus AB 自由回答题成绩的重要工具。通过研究评分标准、优化解题步骤以及避免常见错误,你可以显著提升答案质量。

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AP微积分2019真题下载《2019 AP Calculus AB Free-Response Question》

这是 2019 年 AP Calculus AB Free-Response Question 的第一个问题。它涉及函数的积分、导数以及应用问题,重点考察学生对微积分核心概念的理解和计算能力。以下是每部分问题的详细分析、解题步骤以及解题策略:

问题分析与解题步骤

(a) How many fish enter the lake over the 5-hour period from midnight (t=0) to 5 A.M. (t=5)?

  • 关键知识点:

    • 进入湖中的鱼的速率由函数 E(t) 给出,单位是鱼每小时。
    • 要计算总进入的鱼数,需要对 E(t) 在区间 t=0 到 t=5 进行积分:
      Total fish entering=∫05E(t) dt
  • 解题步骤:

    1. 使用图形计算器或积分公式计算:

      E(t)=20+15sin⁡(πt6)

      直接积分 E(t)

      ∫05(20+15sin⁡(πt6)) dt
    2. 将积分分解为两部分:

      ∫0520 dt+∫0515sin⁡(πt6) dt
      • 第一部分:∫0520 dt=20⋅5=100
      • 第二部分:用图形计算器或积分技巧计算 ∫0515sin⁡(πt6) dt
    3. 将结果相加,得到总进入湖中的鱼数。

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(b) What is the average number of fish that leave the lake per hour over the 5-hour period from midnight (t=0) to 5 A.M. (t=5)?

  • 关键知识点:

    • 平均速率公式:
      Average rate=1b−a∫abL(t) dt

      这里 L(t)=4+2t2 是离开湖中的鱼的速率。

  • 解题步骤:

    1. 计算积分 ∫05L(t) dt

      ∫05(4+2t2) dt=∫054 dt+∫052t2 dt
      • 第一部分:∫054 dt=4⋅5=20
      • 第二部分:∫052t2 dt=2⋅∫05t2 dt=2⋅[t33]05=2⋅1253=2503
    2. 将结果相加:

      ∫05L(t) dt=20+2503=3103
    3. 计算平均速率:

      Average rate=15−0⋅3103=31015=623≈20.67

(c) At what time t, for 0≤t≤8, is the greatest number of fish in the lake? Justify your answer.

  • 关键知识点:

    • 湖中鱼的数量是积累量:进入的鱼减去离开的鱼。
    • 要找到最大值,需计算湖中鱼的净变化率并找到临界点:
      N′(t)=E(t)−L(t)

      找到 N′(t)=0 的点,并分析最大值。

  • 解题步骤:

    1. 计算 N′(t)=E(t)−L(t)

      N′(t)=20+15sin⁡(πt6)−(4+2t2)

      简化为:

      N′(t)=16+15sin⁡(πt6)−2t2
    2. 设置 N′(t)=0 并用图形计算器找到 t 的值。

    3. 检查 N(t) 在 t=0t=8 和临界点的值,找出最大值。

(d) Is the rate of change in the number of fish in the lake increasing or decreasing at t=5? Explain your reasoning.

  • 关键知识点:

    • 要判断 N′(t) 的变化趋势,需计算 N′′(t) 并分析其值:
      N′′(t)=E′(t)−L′(t)
  • 解题步骤:

    1. 计算 E′(t) 和 L′(t)

      E′(t)=ddt(20+15sin⁡(πt6))=15⋅π6cos⁡(πt6)
      L′(t)=ddt(4+2t2)=4t
    2. 计算 N′′(t) 在 t=5 的值:

      N′′(5)=E′(5)−L′(5)
    3. 如果 N′′(5)>0,说明 N′(t) 在增加;如果 N′′(5)<0,说明 N′(t) 在减少。

解题策略

  1. 使用图形计算器:

    • 本题需要计算积分、导数以及分析函数的行为,图形计算器是必不可少的工具。
    • 确保熟悉如何使用计算器求积分、导数以及绘制函数图像。
  2. 分步解题:

    • 每个部分的问题独立解决,确保计算过程清晰且有条理。
    • 对于复杂的表达式,分解成简单部分逐步处理。
  3. 书写规范:

    • 在 AP 考试中,解释和推理占重要部分。确保每一步计算都有对应的解释,并使用数学术语准确表达。

这道题目综合考察了积分、导数和函数行为分析的能力。通过分步计算和合理推理,可以准确回答每个子问题。

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