AP微积分2019真题下载《2019 AP Calculus AB Free-Response Question》

这是 2019 年 AP Calculus AB Free-Response Question 的第一个问题。它涉及函数的积分、导数以及应用问题，重点考察学生对微积分核心概念的理解和计算能力。以下是每部分问题的详细分析、解题步骤以及解题策略：

关键知识点：
- 进入湖中的鱼的速率由函数 $E (t)$ 给出，单位是鱼每小时。
- 要计算总进入的鱼数，需要对 $E (t)$ 在区间 $t = 0$ 到 $t = 5$ 进行积分： $Total fish entering = \int_{05} E (t) d t$
解题步骤：
1. 使用图形计算器或积分公式计算：
  $E (t) = 20 + 15 sin (6 π t)$
  直接积分 $E (t)$ ：
  $\int_{05} (20 + 15 sin (6 π t)) d t$
2. 将积分分解为两部分：
  
  $\int_{05} 20 d t + \int_{05} 15 sin (6 π t) d t$
  - 第一部分： $\int_{05} 20 d t = 20 \cdot 5 = 100$
  - 第二部分：用图形计算器或积分技巧计算 $\int_{05} 15 sin (6 π t) d t$ 。
3. 将结果相加，得到总进入湖中的鱼数。

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关键知识点：
- 平均速率公式： $Average rate = b - a 1 \int_{a b} L (t) d t$
  这里 $L (t) = 4 + 2 t^{2}$ 是离开湖中的鱼的速率。
解题步骤：
1. 计算积分 $\int_{05} L (t) d t$ ：
  
  $\int_{05} (4 + 2 t^{2}) d t = \int_{05} 4 d t + \int_{05} 2 t^{2} d t$
  - 第一部分： $\int_{05} 4 d t = 4 \cdot 5 = 20$
  - 第二部分： $\int_{05} 2 t^{2} d t = 2 \cdot \int_{05} t^{2} d t = 2 \cdot [3 t ^{3}]_{05} = 2 \cdot 3 125 = 3 250$
2. 将结果相加：
  $\int_{05} L (t) d t = 20 + 3250 = 3310$
3. 计算平均速率：
  $Average rate = 5 - 01 \cdot 3310 = 15310 = 362 \approx 20.67$

关键知识点：
- 湖中鱼的数量是积累量：进入的鱼减去离开的鱼。
- 要找到最大值，需计算湖中鱼的净变化率并找到临界点： $N^{'} (t) = E (t) - L (t)$
  找到 $N^{'} (t) = 0$ 的点，并分析最大值。
解题步骤：
1. 计算 $N^{'} (t) = E (t) - L (t)$ ：
  $N^{'} (t) = 20 + 15 sin (6 π t) - (4 + 2 t^{2})$
  简化为：
  $N^{'} (t) = 16 + 15 sin (6 π t) - 2 t^{2}$
2. 设置 $N^{'} (t) = 0$ 并用图形计算器找到 $t$ 的值。
3. 检查 $N (t)$ 在 $t = 0$ 、 $t = 8$ 和临界点的值，找出最大值。

关键知识点：
- 要判断 $N^{'} (t)$ 的变化趋势，需计算 $N^{''} (t)$ 并分析其值： $N^{''} (t) = E^{'} (t) - L^{'} (t)$
解题步骤：
1. 计算 $E^{'} (t)$ 和 $L^{'} (t)$ ：
  $E^{'} (t) = d t d (20 + 15 sin (6 π t)) = 15 \cdot 6 π cos (6 π t)$ $L^{'} (t) = d t d (4 + 2 t^{2}) = 4 t$
2. 计算 $N^{''} (t)$ 在 $t = 5$ 的值：
  $N^{''} (5) = E^{'} (5) - L^{'} (5)$
3. 如果 $N^{''} (5) > 0$ ，说明 $N^{'} (t)$ 在增加；如果 $N^{''} (5) < 0$ ，说明 $N^{'} (t)$ 在减少。

这道题目综合考察了积分、导数和函数行为分析的能力。通过分步计算和合理推理，可以准确回答每个子问题。

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